???? ????? ????? ?? ?????

نمونه نوسان‌گر کوانتومی پلانک نوسان‌گر کوانتومی درون دیواره کاواک با فرکانس5.0×10145.0×10 14نوسان می‌نماید. مسافت فی مابین ترازهای انرژی را به دست معلم خصوصی فیزیک در همدان اورید.

جواب

مسافت دربین دو تراز انرژی پشت سر هم به طور تحت به دست خواهد آمد:

E
=
E
n
+
1
−
E
n
=
(
n
+
1
)
h
f
−
n
h
f
=
h
f
=
(
6.626
×
1
0
−
34
)
(
5.0
×
1
0
14

H
z
)
=
3.3
×
1
0
−
19
J
E=E
n+1

−E
n

=(n+1)hf−nhf=hf=(6.626×10
−34
)(5.0×10
14
Hz)=3.3×10
−19
J

در سال ۱۹۶۵، تابش پس‌مسئله مایکروویو کیهانی (cosmic microwave background radiation یا این که CMBR) به وسیله پنزیاس (Penzias) و ویلسون (Wilson) کشف شد. طیف تابشی اندازه‌گیری گردیده برای آن به صورت قابل‌مراعات و شگفت‌انگیزی بر طبق با نمودار تابش جسم سیاه در دمای ۲/۷۲۵ کلوین بود. با ارزیابی این طیف بدین سود رسیدند که عالم در حالا انبساط و سرد شدن میباشد.

معادله موج شرودینگر چیست؟
معادله شرودینگر یا این که معادله موج شرودینگر، معادله دیفرانسیل جزیی میباشد که دینامیک سیستم فیزیک کوانتوم را با استعمال از تابع موج تعریف می‌نماید. مسیر، وضعیت و انرژی این سیستم‌ها با حل معادله شرودینگر به دست خواهند آمد. بیان این نکته حائض اهمیت میباشد که داده ها به دست آمده درباره‌ی وضعیت و تکانه، بر شالوده فرض ها میباشد.
کل داده ها ذره ریز اتمی باطن تابع موج مخفی میباشد. تابع موج با حل معادله شرودینگر به دست خواهد آمد. معادله شرودینگر یک کدام از بدیهیات اصلی میباشد که به علم‌جویان فیزیک عصر کارشناسی فراگیری داده میگردد. این معادله به وسیله اروین شرودینگر (‌ٍErwin Schrodinger) غالب مشوق نوبل در سال ۱۹۳۳، به دست آورده شد.

با فهم معادله شرودینگر به‌این سود خواهید رسید که قانون ها حکم دهنده بر فیزیک کلاسیک بسیار گوناگون از ضوابط حکم کننده بر فیزیک کوانتوم میباشد. معادله موج شرودینگر با استعمال از ضابطه پایستگی انرژی اطلاعاتی در امر اخلاق و رفتار الکترون مقید در هسته می دهد. این داده ها با به کارگیری از تابع موج شرودینگر به دست خواهند آمد. ولی سوالی که ممکن میباشد مطرح خواهد شد ان میباشد که حل معادله شرودینگر خلال دادن اطلاعاتی راجع به الکترون مقید به هسته، شرایط و تکانه الکترون، چه داده ها دیگری به ما خواهد اعطا کرد؟ با حل این معادله، راجع‌به صورت و جهت اوربیتال‌های باطن اتم یا این که مولکول اطلاعاتی را به دست خوا هیم آورد. حل ظریف این معادله صرفا برای هسته‌ای با یک الکترون مانند H انجام یافته میباشد.

مقاله پیشنهادی: معادله شرودینگر — به لهجه معمولی
تابع موج شرودینگر چیست؟
تابع موج یکی‌از مهم ترین مفاهیم مکانیک کوانتوم میباشد. چون هر ذره‌ای با تابع موج اکران داده میگردد. تابع موج با صحبت لاتین psi یا این که
ψ
ψ
نوشته گردد. این تابع به وضعیت و مجال متعلق میباشد. زمانی که تابع موج ذره‌ای را داشته باشیم، تک تک داده ها مایحتاج درباره‌ی سیستم فیزیکی را خوا هیم داشت. همینطور، مجموع اندازه‌های متعدد برای کمیت‌های قابل مشاهده با انجام عملگر بر آن به دست می آید.
احتمال یافتن ذره در جای x و مجال t با مربع تابع موج علامت داده می گردد. ولی تابع موج می بایست نرمال گردیده باشد، یعنی گردآوری مربع آن بر روی تک تک جای ‌های ممکن موازی یک باشد. این پاراگراف به آن معنا میباشد که ذره به صورت حتم در جایی در اطراف قرار گرفته میباشد. بایستی بدانید که داده ها داده گردیده بوسیله موج براساس احتمال ها می‌باشند. به این ترتیب، فیض مشاهدات قابل پیش‌بینی نیستند.

فیزیک کوانتوم همچون پرتاب دو تاس با یکدیگر با احتمال ها ذکر می گردد.
با به کارگیری از تابع موج مقدار دیده‌داشتی جای ذره را در طول ‌t به حساب آوردن می کنیم. مقدار دیده‌داشتی، مقدار میانگین x بعداز تعداد متعددی اندازه‌گیری میباشد. گشوده هم یادآور می‌شویم که اندازه‌گیری ظریف قابلیت و امکان‌پذیر وجود ندارد. با به کارگیری از عملگر‌های مطلوب، مقدارهای دیده‌داشتی برای تکانه، انرژی و هر کمیت قابل‌مشاهده دیگری را نیز به دست خوا هیم آورد.

ارتباط ریاضی معادله موج شرودینگر چیست ؟
معادله موج شرودینگر معادله موجی برای تابع موج ذره میباشد. این معادله با به کارگیری از ضابطه پایستگی انرژی کسب گردیده‌است. در‌این معادله از عملگری به اسم همیلتونی به کارگیری می‌گردد. بی آلایش‌ترین صورت ریاضی این معادله به طور تحت نوشته می گردد:

H
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
HΨ=iℏ
∂t
∂Ψ

ℏ
ℏ
= اثبات پلانک تقسیم بر
2
π
2π

H = عملگر هامیلتونی، که گردآوری انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم کوانتومی میباشد.

عملگر هامیلتونی، عبارت زمانبر میباشد. با جایگذاری شکل بی نقص آن در معادله شرودینگر خوا هیم داشت:

−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
−
2m
ℏ
2

∂x
2

∂
2
Ψ

+V(x)Ψ(x)=iℏ
∂t
∂Ψ

این نکته را به خاطر داشته باشید که در مسائل سه‌آجل، مشتق جزئی با عملگر لاپلاس (
▽
2
▽
2

) جایگزین شود.

معادله شرودینگر متعلق به فرصت
معادله موج شرودینگر متعلق به فرصت، وضعیت کلی‌خیس معادله موج آورده شده در بخش پیشین میباشد. معمولی‌ترین حالتی که می‌اقتدار در حیث گرفت ذره آزاد میباشد، چون پتانسیل آن موازی صفر خواهد بود. با حل این معادله به پاسخ تحت برای تابع موج خوا هیم رسید:

Ψ
=
A
e
k
x
−
ω
t
Ψ=Ae
kx−ωt

تابع موج به دست آمده به صورت موج تخت میباشد. در ارتباط به دست آمده k موازی
2
π
λ
λ
2π

و
ω
ω
موازی
E
ℏ
ℏ
E

میباشد. برای موقعیت‌های دیگر، تابع پتانسیل نقش مهمی در معادله شرودینگر خواهد داشت و ذکر‌گر حالت مرزی برای نصیب فضایی تابع موج میباشد.

معادله موج شرودینگر جدا از فرصت
برای شرایط‌های ایستا یا این که پاسخ‌هایی به صورت امواج ایستاده (مانند دیوار پتانسیل و ذره در باکس)، معادله شرودینگر به دو نصیب فضایی و هنگامی تقسیم گردد:

Ψ
(
x
,
t
)
=
Ψ
(
x
)
f
(
t
)
Ψ(x,t)=Ψ(x)f(t)

با جایگذاری ارتباط فوق در شکل مهم معادله شرودینگر، عبارت‌های هنگامی از طرفین معمولی خواهند شد و معادله جدا از مجال تابع موج به طور پایین به دست میاید:

H
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
HΨ(x)=EΨ(x)

در عبارت فوق، E انرژی سیستم و ‌H عملگر هامیلتونی میباشد. صورت ظریف‌خیس معادله شرودینگر غیروابسته از مجال به طور ذیل نوشته می گردد:

−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
−
2m
ℏ
2

∂x
2

∂
2
Ψ

+V(x)Ψ(x)=EΨ(x)

بخش وقتی معادله به طور تحت میباشد:

f
(
t
)
=
e
i
E
t
ℏ
f(t)=e
ℏ
iEt

تابع موج چه‌گونه اعداد کوانتومی را ساخت‌و‌ساز می‌نماید ؟
گفتیم با حل معادله شرودینگر
Ψ
Ψ
یا این که تابع موج را به دست می آوریم. حالت مرزی که به هنگام حل معادله شرودینگر ایفا کرده‌ایم اعداد کوانتومی را ساخت و ساز می‌نمایند. ولی سوالی که ممکن میباشد مطرح گردد آن میباشد وضعیت مرزی کدام موردها میباشند:

Ψ
Ψ
و او‌لین مشتق آن بایستی پیوسته باشند.
Ψ
Ψ
بایستی بهنجار گردیده باشد. این به آن معنی میباشد که با احتما ۱۰۰ درصد الکترون جایی در دنیا جای‌دارد. برای مقدار واقعی
Ψ
Ψ
، شرط بهنجار به طور پایین خواهد بود:

∫
‌
−
∞
∞
Ψ
2
d
r
=
1
∫
‌−∞
∞

Ψ
2
dr=1

با ارتقاء مسافت نسبت به هسته، الکترون از قید آن آزاد گردد.
تابع موج الکترون در سه‌آن گاه وجود داراست. بدین ترتیب، حل‌های معادله شرودینگر سه نصیب دارا هستند. معادله را با استعمال از روشی مرسوم در معادلات دیفرانسیل به اسم جداسازی حل میکنیم:

Ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
P
(
θ
)
F
(
ϕ
)
Ψ(r,θ,ϕ)=R(r)P(θ)F(ϕ)

بعد از جایگذاری عبارت فوق در معادله غیروابسته از مجال شرودینگر، شروط پایین می بایست برقرار باشند:

در R(r)، ثابتی به اسم n مقدارهای ۱، ۲، ۳، ۴ و ... را خواهد داشت.
در
P
(
θ
)
P(θ)
ثابتی به اسم l مقدارهای ۰، ۱، ۲، ۳، ... و (n-1) را خواهد داشت.
در
F
(
ϕ
)
F(ϕ)
، ثابتی به اسم m مقدارهای l- تا l را خواهد داشت.
بدین ترتیب، با استعمال از تابع موج به دست آمده از معادله شرودینگر، سه تا کوانتومی تعریف کننده خصوصیت رفتاری الکترون در اتم به دست آمدند.

n: عدد کوانتومی اساسی میباشد.
l: عدد کوانتومی مرتبط با اوربیتال موردنظر.
m: عدد کوانتومی مغناطیسی.

نمونه نوسان‌گر کوانتومی پلانک نوسان‌گر کوانتومی درون دیواره کاواک با فرکانس5.0×10145.0×10 14نوسان می‌نماید. مسافت فی مابین ترازهای انرژی را به دست معلم خصوصی فیزیک در همدان اورید.

جواب

مسافت دربین دو تراز انرژی پشت سر هم به طور تحت به دست خواهد آمد:

E
=
E
n
+
1
−
E
n
=
(
n
+
1
)
h
f
−
n
h
f
=
h
f
=
(
6.626
×
1
0
−
34
)
(
5.0
×
1
0
14

H
z
)
=
3.3
×
1
0
−
19
J
E=E
n+1

−E
n

=(n+1)hf−nhf=hf=(6.626×10
−34
)(5.0×10
14
Hz)=3.3×10
−19
J

در سال ۱۹۶۵، تابش پس‌مسئله مایکروویو کیهانی (cosmic microwave background radiation یا این که CMBR) به وسیله پنزیاس (Penzias) و ویلسون (Wilson) کشف شد. طیف تابشی اندازه‌گیری گردیده برای آن به صورت قابل‌مراعات و شگفت‌انگیزی بر طبق با نمودار تابش جسم سیاه در دمای ۲/۷۲۵ کلوین بود. با ارزیابی این طیف بدین سود رسیدند که عالم در حالا انبساط و سرد شدن میباشد.

معادله موج شرودینگر چیست؟
معادله شرودینگر یا این که معادله موج شرودینگر، معادله دیفرانسیل جزیی میباشد که دینامیک سیستم فیزیک کوانتوم را با استعمال از تابع موج تعریف می‌نماید. مسیر، وضعیت و انرژی این سیستم‌ها با حل معادله شرودینگر به دست خواهند آمد. بیان این نکته حائض اهمیت میباشد که داده ها به دست آمده درباره‌ی وضعیت و تکانه، بر شالوده فرض ها میباشد.
کل داده ها ذره ریز اتمی باطن تابع موج مخفی میباشد. تابع موج با حل معادله شرودینگر به دست خواهد آمد. معادله شرودینگر یک کدام از بدیهیات اصلی میباشد که به علم‌جویان فیزیک عصر کارشناسی فراگیری داده میگردد. این معادله به وسیله اروین شرودینگر (‌ٍErwin Schrodinger) غالب مشوق نوبل در سال ۱۹۳۳، به دست آورده شد.

با فهم معادله شرودینگر به‌این سود خواهید رسید که قانون ها حکم دهنده بر فیزیک کلاسیک بسیار گوناگون از ضوابط حکم کننده بر فیزیک کوانتوم میباشد. معادله موج شرودینگر با استعمال از ضابطه پایستگی انرژی اطلاعاتی در امر اخلاق و رفتار الکترون مقید در هسته می دهد. این داده ها با به کارگیری از تابع موج شرودینگر به دست خواهند آمد. ولی سوالی که ممکن میباشد مطرح خواهد شد ان میباشد که حل معادله شرودینگر خلال دادن اطلاعاتی راجع به الکترون مقید به هسته، شرایط و تکانه الکترون، چه داده ها دیگری به ما خواهد اعطا کرد؟ با حل این معادله، راجع‌به صورت و جهت اوربیتال‌های باطن اتم یا این که مولکول اطلاعاتی را به دست خوا هیم آورد. حل ظریف این معادله صرفا برای هسته‌ای با یک الکترون مانند H انجام یافته میباشد.

مقاله پیشنهادی: معادله شرودینگر — به لهجه معمولی
تابع موج شرودینگر چیست؟
تابع موج یکی‌از مهم ترین مفاهیم مکانیک کوانتوم میباشد. چون هر ذره‌ای با تابع موج اکران داده میگردد. تابع موج با صحبت لاتین psi یا این که
ψ
ψ
نوشته گردد. این تابع به وضعیت و مجال متعلق میباشد. زمانی که تابع موج ذره‌ای را داشته باشیم، تک تک داده ها مایحتاج درباره‌ی سیستم فیزیکی را خوا هیم داشت. همینطور، مجموع اندازه‌های متعدد برای کمیت‌های قابل مشاهده با انجام عملگر بر آن به دست می آید.
احتمال یافتن ذره در جای x و مجال t با مربع تابع موج علامت داده می گردد. ولی تابع موج می بایست نرمال گردیده باشد، یعنی گردآوری مربع آن بر روی تک تک جای ‌های ممکن موازی یک باشد. این پاراگراف به آن معنا میباشد که ذره به صورت حتم در جایی در اطراف قرار گرفته میباشد. بایستی بدانید که داده ها داده گردیده بوسیله موج براساس احتمال ها می‌باشند. به این ترتیب، فیض مشاهدات قابل پیش‌بینی نیستند.

فیزیک کوانتوم همچون پرتاب دو تاس با یکدیگر با احتمال ها ذکر می گردد.
با به کارگیری از تابع موج مقدار دیده‌داشتی جای ذره را در طول ‌t به حساب آوردن می کنیم. مقدار دیده‌داشتی، مقدار میانگین x بعداز تعداد متعددی اندازه‌گیری میباشد. گشوده هم یادآور می‌شویم که اندازه‌گیری ظریف قابلیت و امکان‌پذیر وجود ندارد. با به کارگیری از عملگر‌های مطلوب، مقدارهای دیده‌داشتی برای تکانه، انرژی و هر کمیت قابل‌مشاهده دیگری را نیز به دست خوا هیم آورد.

ارتباط ریاضی معادله موج شرودینگر چیست ؟
معادله موج شرودینگر معادله موجی برای تابع موج ذره میباشد. این معادله با به کارگیری از ضابطه پایستگی انرژی کسب گردیده‌است. در‌این معادله از عملگری به اسم همیلتونی به کارگیری می‌گردد. بی آلایش‌ترین صورت ریاضی این معادله به طور تحت نوشته می گردد:

H
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
HΨ=iℏ
∂t
∂Ψ

ℏ
ℏ
= اثبات پلانک تقسیم بر
2
π
2π

H = عملگر هامیلتونی، که گردآوری انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم کوانتومی میباشد.

عملگر هامیلتونی، عبارت زمانبر میباشد. با جایگذاری شکل بی نقص آن در معادله شرودینگر خوا هیم داشت:

−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
−
2m
ℏ
2

∂x
2

∂
2
Ψ

+V(x)Ψ(x)=iℏ
∂t
∂Ψ

این نکته را به خاطر داشته باشید که در مسائل سه‌آجل، مشتق جزئی با عملگر لاپلاس (
▽
2
▽
2

) جایگزین شود.

معادله شرودینگر متعلق به فرصت
معادله موج شرودینگر متعلق به فرصت، وضعیت کلی‌خیس معادله موج آورده شده در بخش پیشین میباشد. معمولی‌ترین حالتی که می‌اقتدار در حیث گرفت ذره آزاد میباشد، چون پتانسیل آن موازی صفر خواهد بود. با حل این معادله به پاسخ تحت برای تابع موج خوا هیم رسید:

Ψ
=
A
e
k
x
−
ω
t
Ψ=Ae
kx−ωt

تابع موج به دست آمده به صورت موج تخت میباشد. در ارتباط به دست آمده k موازی
2
π
λ
λ
2π

و
ω
ω
موازی
E
ℏ
ℏ
E

میباشد. برای موقعیت‌های دیگر، تابع پتانسیل نقش مهمی در معادله شرودینگر خواهد داشت و ذکر‌گر حالت مرزی برای نصیب فضایی تابع موج میباشد.

معادله موج شرودینگر جدا از فرصت
برای شرایط‌های ایستا یا این که پاسخ‌هایی به صورت امواج ایستاده (مانند دیوار پتانسیل و ذره در باکس)، معادله شرودینگر به دو نصیب فضایی و هنگامی تقسیم گردد:

Ψ
(
x
,
t
)
=
Ψ
(
x
)
f
(
t
)
Ψ(x,t)=Ψ(x)f(t)

با جایگذاری ارتباط فوق در شکل مهم معادله شرودینگر، عبارت‌های هنگامی از طرفین معمولی خواهند شد و معادله جدا از مجال تابع موج به طور پایین به دست میاید:

H
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
HΨ(x)=EΨ(x)

در عبارت فوق، E انرژی سیستم و ‌H عملگر هامیلتونی میباشد. صورت ظریف‌خیس معادله شرودینگر غیروابسته از مجال به طور ذیل نوشته می گردد:

−
ℏ
2
2
m
∂
2
Ψ
∂
x
2
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
−
2m
ℏ
2

∂x
2

∂
2
Ψ

+V(x)Ψ(x)=EΨ(x)

بخش وقتی معادله به طور تحت میباشد:

f
(
t
)
=
e
i
E
t
ℏ
f(t)=e
ℏ
iEt

تابع موج چه‌گونه اعداد کوانتومی را ساخت‌و‌ساز می‌نماید ؟
گفتیم با حل معادله شرودینگر
Ψ
Ψ
یا این که تابع موج را به دست می آوریم. حالت مرزی که به هنگام حل معادله شرودینگر ایفا کرده‌ایم اعداد کوانتومی را ساخت و ساز می‌نمایند. ولی سوالی که ممکن میباشد مطرح گردد آن میباشد وضعیت مرزی کدام موردها میباشند:

Ψ
Ψ
و او‌لین مشتق آن بایستی پیوسته باشند.
Ψ
Ψ
بایستی بهنجار گردیده باشد. این به آن معنی میباشد که با احتما ۱۰۰ درصد الکترون جایی در دنیا جای‌دارد. برای مقدار واقعی
Ψ
Ψ
، شرط بهنجار به طور پایین خواهد بود:

∫
‌
−
∞
∞
Ψ
2
d
r
=
1
∫
‌−∞
∞

Ψ
2
dr=1

با ارتقاء مسافت نسبت به هسته، الکترون از قید آن آزاد گردد.
تابع موج الکترون در سه‌آن گاه وجود داراست. بدین ترتیب، حل‌های معادله شرودینگر سه نصیب دارا هستند. معادله را با استعمال از روشی مرسوم در معادلات دیفرانسیل به اسم جداسازی حل میکنیم:

Ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
P
(
θ
)
F
(
ϕ
)
Ψ(r,θ,ϕ)=R(r)P(θ)F(ϕ)

بعد از جایگذاری عبارت فوق در معادله غیروابسته از مجال شرودینگر، شروط پایین می بایست برقرار باشند:

در R(r)، ثابتی به اسم n مقدارهای ۱، ۲، ۳، ۴ و ... را خواهد داشت.
در
P
(
θ
)
P(θ)
ثابتی به اسم l مقدارهای ۰، ۱، ۲، ۳، ... و (n-1) را خواهد داشت.
در
F
(
ϕ
)
F(ϕ)
، ثابتی به اسم m مقدارهای l- تا l را خواهد داشت.
بدین ترتیب، با استعمال از تابع موج به دست آمده از معادله شرودینگر، سه تا کوانتومی تعریف کننده خصوصیت رفتاری الکترون در اتم به دست آمدند.

n: عدد کوانتومی اساسی میباشد.
l: عدد کوانتومی مرتبط با اوربیتال موردنظر.
m: عدد کوانتومی مغناطیسی.